Родился 9 ноября 1969 года. Трудовую деятельность начал в 1990 году учеником электромонтера 3-го участка цеха № 13 Северного машиностроительного предприятия в Северодвинске, за 21 год прошел путь от рабочего до главного энергетика — начальника отдела энерго-механического управления.
В 1994 году окончил Северодвинский политехнический техникум, в 2002 году — Севмашвтуз, филиал Санкт-Петербургского государственного морского технического университета, получив кварификацию экономиста по специальности «Информационные системы в экономике». В 2007 году в Поморском госуниверситете им. М. В. Ломоносова прошел профессиональную переподготовку по Президентской программе подготовки управленческих кадров по специальности «Менеджмент в бизнесе». В 2009 году окончил институт подготовки и переподготовки специалистов государственного университета «Высшая школа экономики» в сфере управления промышленными предприятиями.
Указом Президента России в ноябре 2009 года И.В. Годзишу присвоено Почетное звание «Заслуженный энергетик Российской Федерации».
С марта 2012 года — министр энергетики и связи Архангельской области, с июля 2013 года — министр топливно-энергетического комплекса и жилищно-коммунального хозяйства Архангельской области.
В 2013 году прошел обучение в Московской школе управления «Сколково» по интегрированной программе «Перспективы Архангельского региона: стратегия и ресурсы развития».
По итогам конкурса состоявшегося 17 ноября 2015 года кандидатура Игоря Викторовича Годзиша была представлена комиссией для избрания на должность Главы муниципального образования «Город Архангельск». 25 ноября 2015 года Архангельской городской Думой избран Главой муниципального образования "Город Архангельск.
Женат, воспитывает сына и дочь.
