По образованию филолог (кандидат филологических наук), в 1987 году окончил Якутский государственный университет. В 1996–97 годах стажировался в Халльском университете в Великобритании. В 1997 году защитил кандидатскую диссертацию по английской литературе в Московском педагогическом государственном университете по теме «Ориентальные мотивы в творчестве Оскара Уайльда». Работал доцентом кафедры английской филологии Якутского университета, преподавал стилистику английского языка и анализ художественного текста.
В 2005 на Парижском книжном Салоне Андрей Геласимов был признан самым популярным во Франции российским писателем, обойдя Людмилу Улицкую и Бориса Акунина. В составе делегаций российских писателей участвовал в международных книжных ярмарках во Франкфурте (2003), Лейпциге (2004), Варшаве (2004), Париже (2005, 2010, 2012, 2018), Будапеште (2005), Женеве (2007, 2015), Нью-Йорке (2012), Барселоне (2012), Лондоне (2016) и др. Принимал участие в региональных книжных выставках в Бордо (Франция, 2005), Сен-Мало (Франция, 2005, 2010), Фюво (Франция, 2007), Монпелье (Франция, 2008), Ди (Франция, 2008, 2010) и др. В марте 2010 года по приглашению Министерства иностранных дел Франции участвовал от России в официальной программе юбилейного 30-го Книжного Салона в Париже, на который были приглашены 30 писателей из 30 стран.
Книги Геласимова переведены на английский, французский, немецкий, испанский, итальянский, болгарский, эстонский, арабский, маратхи, иврит и др. языки.
В 2008 в издательстве ЭКСМО вышел роман Геласимова «Степные боги». В 2009 году Андрей Геласимов стал лауреатом литературной премии «Национальный бестселлер» за этот роман.
В 2010 году Андрею Геласимову был вручен Знак отличия Республики Саха (Якутия) «Гражданская Доблесть».
Весной 2015-го опубликован роман «Холод» («Эксмо»). Книга включена в лонг-листы литературных премий «Большая книга», «Ясная Поляна», «Русский Букер». За этот роман Геласимов номинирован журналом «GQ» на премию «Человек года» в категории «Писатель года», а также стал лауреатом премии журнала «Октябрь». В декабре 2016 года роман «Холод», переведённый на английский язык («Into The Thickening Fog»), поднялся до верхних строк рейтинга на американской платформе Amazon.
Весной 2016 года издательство «Э» выпустило сборник повестей и рассказов «Десять историй о любви». Рассказ «Paradise Found» из этого сборника был экранизирован Сергеем Соловьевым (полнометражный художественный фильм «Ке-ды»). Сборник включен в лонг-лист ежегодной литературной премии «Ясная Поляна».
В 2018 году в издательстве «Городец» вышел роман «Роза ветров», посвящённый освоению Дальнего Востока в середине XIX века. Известный российский рэпер Баста выпустил видеоклип к этой книге. В 2019 году роман стал лауреатом Общероссийской литературной премии «Дальний Восток» им. В.К. Арсеньева.
С осени 2018 года занимает должность доцента Литературного института им. Горького. Ведёт семинар прозы.
В ноябре 2019 года в издательстве «Городец» опубликован роман «Чистый кайф». Через призму судьбы культовых исполнителей рэпа книга исследует феномен зарождения этой культуры в России в конце 90-х годов. В 2021 году роман стал лауреатом Московской Арт-премии
В 2019 году Андрей Геласимов стал автором Тотального диктанта-2020
